Василий Яковлевич Цингер

Васи́лий Я́ковлевич Ци́нгер (1836—1907) — российский математик, ботаник и философ; доктор чистой математики, почётный доктор ботаники; заслуженный профессор Императорского Московского университета; автор ряда трудов по геометрии, механике и гидродинамике, а также по ботанике и философии.

Недоразумения во взглядах на основания геометрии

Недоразумения во взглядах на основания геометрии. — М., 1884.

Если возможны недоразумения и заблуждения даже в такой простой области познаний, как науки математические, то в необозримой, чрезвычайно разнообразной и сложной области естествознания, без сомнения, ещё более опасности попасть на ложный путь неправильных выводов и незаконных обобщений. В эту область, где опыт доставляет и материал для научного исследования, и средство для контроля гипотез и теоретических выводов, где глубина замысла, остроумие и искусство в производстве опыта составляют высокое умственное наслаждение естествоиспытателя и нередко его славу, в эту область чаще всего проникают тлетворные воззрения эмпиризма, который, унижая достоинство человека отрицанием его духовной природы, стремится сделать его рабом материи. Для всякого беспристрастного мыслящего человека эмпиризм опровергается строго логическими доказательствами, но ещё более возмущается против него нравственное чувство, так как отрицанием духовного бытия уничтожается единственная прочная опора нравственности и подавляются все высшие идеальные стремления человека.

---

Наука и истинное знание не должны быть рабами опыта, они должны над ним господствовать и заставить его служить своим задачам. Верно то, что наука должна руководиться не материальными, а идеальными стремлениями, но ещё вернее то, что она основывается не на материальных, а на идеальных началах. Высшие качества науки — это ясность, простота, искренность и добросовестность мысли; светоч науки — это идеал истины. Но наука есть только одна из сторон духовного бытия и жизни человека; тот же идеал истины является с других сторон, то как идеал красоты и гармонии, то как идеал добра и чести, правды и человеколюбия; это один и тот же идеал, — тот, перед которым мы все без различия возрастов и положений, без различия взглядов и убеждений, без различия заслуг и талантов, благоговейно преклоняемся, как перед идеалом божественной мудрости и любви!

---

Опытные данные сами по себе, вследствие неизбежного недостатка точности, настолько податливы, что всегда могут быть приноровлены и к неевклидовой и ко всякой другой геометрии, а из этого еще с большей ясностью обнаруживается, что достоверность аксиом не может ни подтверждаться, ни опровергаться посредством опытной проверки.

К вопросу о точке наименьшего расстояния

К вопросу о точке наименьшего расстояния // Математический сборник : журнал. — М.: 1892. — Т. 16. — № 2. — С. 317—341.

Предлагаемые в настоящей статье элементарные соображeния, если и не дают полного pешения задачи, тем не менее могут представлять интерес для любителей reoметрии, потому что бросают хотя некоторый свет на этот по-видимому столь простой, но до сих пор ещё совершенно тёмный вопрос.

---

7. В заключение укажем на некоторые частные случаи.
Если к системе точек A₁, A₂, … A_n, имеющих точку наименьшаго расстояния в P, прибавим две точки B₁ и B₂, лежащия на прямой, проходящей через P, и по разные стороны от P, то P останется точкою наименьшего расстояния и для совокупной системы A₁, A₂, … A_n, B₁, B₂, потому что сумма PB₁ + PB₂ представляет кратчайшее расстояние между B₁ и B₂. Таких пар можем прибавлять сколько угодно и это, очевидно, соответствует прибавлению к многоугольнику a₁a₂ … a_n двойных вершин, о которых было упомянуто выше. Отсюда следует, между прочим, что для вершин всякого многоугольника с чётным числом сторон, в котором главные диагонали проходят через одну точку, эта точка всегда есть точка наименьшего расстояния, что, впрочем, можно считать очевидным. Точка наименьшего расстояния для вершин выпуклого четырёхугольника находится, следовательно, также в пересечении диагоналей; если же четырёхугольник имеет входящий угол, то, как легко убедиться, точкою наименьшего расстояния от его вершин будет вершина входящего угла.
Центр всякого правильного многоугольника есть точка наименьшего расстояния для всякой системы точек, взятых где угодно на лучах, проведённых из центра к вершинам многоугольника. Для многоугольников с нечётным числом сторон это следует из того, что выполняются условия (1), а для многоугольников с чётным числом сторон — из того, что в них диагонали, соединяющие противоположные вершины, проходят через центр.
Если вообще точка P есть в одно время точка наименьшего расстояния для двух систем точек A и B в отдельности, то она же будет точкою наименьшего расстояния и для совокупной системы точек A и B.
Для системы, состоящей из нечётного числа точек, лежащих на одной прямой, точкою наименьшего расстояния служит средняя из данных точек, то есть та, от которой в ту и другую сторону находится по равному числу точек. Если же на прямой линии дано чётное число точек, то положение точки наименьшего расстояния остаётся неопределённым; в этом случае наименьшую и одинаковую сумму расстояний имеют все точки среднего отрезка между данными точками, то есть того отрезка, от средины которого вправо и влево на прямой находится одинаковое число точек.