Геометрия

Материал из Викицитатника
Перейти к: навигация, поиск
Циркуль и линейка

Геоме́трия (от др.-греч. γεωμετρία «землемерие»; γῆземля и μετρέω — «измеряю») — раздел математики, изучающий пространственные отношения, формы и их обобщения.
Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.

Цитаты[править]

  •  

Негеометр да не войдёт (Распространённый вариант: «Пусть не входит никто, не знающий геометрии»). — Надпись над входом в Платоновскую Академию. Позже Николай Коперник поставил это изречение эпиграфом к своему трактату «О вращении небесных сфер» (1543 г.).

 

ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω (Ageometretos medeis eisito)

  •  
Задача об удвоении квадрата (Платон «Менон», 82b-85b)
— ...Те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно. Исходя из этих положений, они разбирают уже все остальное и последовательно доводят до конца то, что было предметом их рассмотрения.

— Это-то я очень хорошо знаю.
— Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена но на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором.
— Ты прав.
— Вот об этом виде умопостигаемого я тогда и говорил: душа в своем стремлении к нему бывает вынуждена пользоваться предпосылками и потому не восходит к его началу, так как она не в состоянии выйти за пределы предполагаемого и пользуется лишь образными подобиями, выраженными в низших вещах, особенно в тех, в которых она находит и почитает более отчетливое их выражение.
— Я понимаю: ты говоришь о том, что́ изучают при помощи геометрии и родственных ей приемов.[1]«Государство», VI, 510c-511b

  Платон
  •  

— Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет.
— Хорошая оговорка: действительно, геометрия — это познание вечного бытия.
— Значит, она влечет душу к истине и воздействует на философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна вопреки должному.
— Да, геометрия очень даже на это воздействует.
— Значит, надо по возможности строже предписать, чтобы граждане Прекрасного города ни в коем случае не оставляли геометрию: ведь немаловажно даже побочное ее применение.
— Какое?
— То, о чем ты говорил, — в военном деле да, впрочем, и во всех науках — для лучшего их усвоения: мы ведь знаем, какая бесконечная разница существует между человеком причастным к геометрии и непричастным.
— Бесконечная, клянусь Зевсом!
— Так примем это как второй предмет изучения для наших юношей?
— Примем. — «Государство», VII, 527b-d

  — Платон
  •  

Нет царского пути в геометрии. — Ответ египетскому царю Птолемею I, который просил указать ему более легкий путь изучения геометрии. Высказывание приведено в «Математической коллекции» Паппа Александрийского (рубеж III—IV вв.) и «Комментарии к Эвклиду» Прокла Диадоха (середина V в.).

  Евклид
  •  

Геометрия же прино­сит большую пользу архитектуре, и прежде всего она учит упо­треблению циркуля и линейки, что чрезвычайно облегчает составле­ние планов зданий и правильное применение наугольников, уровней и отвесов.[2]Об архитектуре. Книга I, глава I.

  Витрувий
  •  

Геометрия есть знание величин, фигур и их границ, а также отношений между ними и производимых над ними операций, разнообразных положений и движений; она начинает с неделимой точки, завершает объемными фигурами и исследованием многообразных различий между ними, и уже после этого от более сложного возвращается к более простому и к началам более сложного. А именно, она пользуется синтезом и анализом, всякий раз начиная с предпосылок, начала беря от более высокого знания и используя все диалектические методы: когда речь идет о началах, она использует отделение видов от родов и определения; когда о том, что следует за началами, — доказательством и анализом, чтобы показать переход от более простого к более сложному и опять возвращение к более простому, отдельно производя рациональные построения относительно того, что ей подлежит, отдельно — относительно аксиом, от которых она переходит к доказательствам, и относительно постулатов; и отдельно — относительно существенных свойств, показывая, что и они связаны с предметом ее рассмотрения. — Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 5.

  Прокл
  •  

...Без [науки измерения[3]] невозможно сделаться настоящим мастером... Но так как она является истинной основой всякой живописи, я решил изложить её начала и основания для всех жаждущих знаний юношей, дабы они, овладев искусством измерения с помощью циркуля и линейки, могли бы благодаря этому познать и увидеть своими глазами истину и чтобы они не только жаждали знаний, но также могли достигнуть настоящего и более полного понимания.[4]«Руководство к измерению с помощью циркуля и линейки в линиях, плоскостях и целых телах, составленное Альбрехтом Дюрером и напечатанное на пользу всем любящим знания с надлежащими рисунками в 1525 году.»

  Альбрехт Дюрер
  •  

Геометрия едина и вечна, она блистает в Божьем духе. Наша причастность к ней служит одним из оснований, по которым человек должен быть образом Божьим. Но в геометрии имеются пять евклидовых тел, совершеннейший род фигур после сферы. По их образцу и прообразу устроена наша планетная система. — «Разговор с Звездным вестником» (1610)

  Иоганн Кеплер
  •  

Надо признаться, что попытка трактовать естественные проблемы без геометрии есть попытка сделать невозможное.[5]«Диалог о двух главнейших системах мира — Птолемеевой и Коперниковой» (1632)

  Галилео Галилей
  •  

Что мы с вами скажем на это?.. Не должны ли мы признать, что геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать? Не прав ли был Платон, требуя от своих учеников прежде всего основательного знакомства с математикой?[6]«Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук» (1638)

  — Галилео Галилей
  •  

Те длинные цепи выводов, сплошь простых и легких, которыми обычно пользуются геометры, чтобы дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне повод представить себе, что и все вещи, которые могут стать предметом знания людей, находятся между собой в такой же последовательности.[7]«Рассуждение о методе, чтобы хорошо направлять свой разум и отыскивать истину в науках» (1637)

  Рене Декарт
  •  

Всё, что превышает геометрию[8], превышает нас.[9]«Соображения относительно геометрии вообще. О геометрическом уме и искусстве убеждать».

 

Ce qui passe la géométrie nous surpasse

  Блез Паскаль
  •  

Геометрия за то и прославляется, что заимствовав извне столь мало основных положений, она столь многого достигает.[10]Из предисловия к первому изданию «Математических начал натуральной философии» (1687). Почти 100 лет спустя Иммануил Кант процитировал эту фразу в предисловии к «Метафизическим началам естествознания» (1786).

 

Ac gloriatur Geometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præstet.

  Исаак Ньютон
  •  

Геометрия есть наука, определяющая свойства пространства синтетически и тем не менее a priori[11]. Каким же должно быть представление о пространстве, чтобы такое знание о нем было возможно? Оно должно быть первоначально созерцанием, так как из одного только понятия нельзя вывести положения, выходящие за его пределы, между тем мы встречаем это в геометрии <...>. Но это созерцание должно находиться в нас a priori, т. е. до всякого восприятия предмета, следовательно, оно должно быть чистым, не эмпирическим созерцанием. В самом деле, все геометрические положения имеют аподиктический характер, т. е. связаны с сознанием их необходимости, например положение, что пространство имеет только три измерения; но такие положения не могут быть эмпирическими, или суждениями, исходящими из опыта, а также не могут быть выведены из подобных суждений <...>.
Каким же образом может быть присуще нашей душе внешнее созерцание, которое предшествует самим объектам и в котором понятие их может быть определено a priori? Очевидно, это возможно лишь в том случае, если оно находится только в субъекте как формальное его свойство подвергаться воздействию объектов и таким образом получать непосредственное представленые о них, т. е. созерцание, следовательно, лишь как форма внешнего чувства вообще.
Итак, лишь наше объяснение делает понятной возможность геометрии как априорного синтетического знания.[12]Критика чистого разума. I, часть первая, глава первая. О пространстве.

  Иммануил Кант
  •  

Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии. — «Отрывки из писем, мысли и замечания» (1828)

  Александр Пушкин
  •  

Понятие «истинный» неприложимо к высказываниям чистой геометрии, потому что словом «истинный» мы в конечном счете постоянно характеризуем согласование с «реальным» предметом; но геометрия не занимается отношением своих понятий к предметам опыта, она имеет дело только с логической связью этих понятий между собой.[13]«О специальной и общей теории относительности» (1917)

  Альберт Эйнштейн
  •  
«...Согласно Эйнштейну, физическое пространство является неевклидовым» (Г. Рейхенбах).
Здравый рассудок убежден, что реальное пространство, пространство, в котором мы живем и передвигаемся, соответствует аксиомам Евклида, что по отношению к этому пространству а является истинным, тогда как не-а ложным. Дискуссия на эти темы уводит далеко за пределы математики, так как вопрос о свойствах физического мира есть вопрос физический, а не математический. Это различие, констатированное в результате открытия неевклидовой геометрии, имеет фундаментальное значение. Проблема пространства разделяется на две части: наряду с проблемой математического пространства было признано существование проблемы физического пространства.

<...>
Мы можем утверждать, следовательно, что математическая геометрия — это не наука о пространстве, поскольку под пространством мы понимаем наглядную структуру, которая может быть заполнена предметами, — а чистая теория многообразий. Наглядность в ней играет ту же роль, что и в арифметике или анализе. Подобно последним, геометрия может быть сведена к фундаментальным логическим понятиям, таким, как соотношения, классы и т. д., составляющим реальное содержание геометрических высказываний. Все геометрические аксиомы могут быть сформулированы как математические законы при помощи формул <...>. Визуальные элементы пространства не являются необходимым дополнением. Поэтому в математической геометрии вопрос об истинности той или иной аксиомы даже не возникает. Аксиомы представляют собой произвольно составленные отношения, содержание которых может быть выражено некоторым сочетанием одних только логических понятий.[14](1928, 1958) The Philosophy of Space and Time §1, 14

  Ганс Рейхенбах
  •  

Влияние геометрии на философию и научный метод было глубоким. Геометрия в таком виде, в каком она установилась у греков, отправляется от аксиом, которые являются самоочевидными (или полагаются таковыми), и через дедуктивные рассуждения приходит к теоремам, которые весьма далеки от самоочевидности. При этом утверждают, что аксиомы и теоремы являются истинными применительно к действительному пространству, которое является чем-то данным в опыте. Поэтому кажется возможным, используя дедукцию, совершать открытия, относящиеся к действительному миру, исходя из того, что является самоочевидным. Подобная точка зрения оказала влияние как на Платона и Канта, так и на многих других философов, стоявших между ними. Когда Декларация независимости говорит: «Мы утверждаем, что эти истины самоочевидны», — она следует образцу Евклида. Распространенная в XVIII веке, доктрина о естественных правах человека является поиском евклидовых аксиом в области политики.
Форма ньютоновского произведения «Начала», несмотря на его общепризнанный эмпирический материал, целиком определяется влиянием Евклида. Теология в своих наиболее точных схоластических формах обязана своим стилем тому же источнику. Личная религия ведет свое начало от экстаза, теология — из математики... — История западной философии. Кн. первая, гл. III.

  Бертран Рассел
  •  
Прямоугольный треугольник и открытие иррационального числа
[Историческую гипотезу] можно сформулировать в таком виде: (1) Открытие иррациональности квадратного корня из двух, которое привело к краху пифагорейской программы сведения геометрии и космологии (и, по-видимому, всего знания) к арифметике, вызвало кризис греческой математики. (2) «Начала» Евклида представляют собой не учебник геометрии, а скорее последнюю попытку платоновской школы преодолеть этот кризис путем перестройки всей математики и космологии на фундаменте геометрии (что означало инверсию пифагорейской программы арифметизации) для того, чтобы иметь дело с проблемой несоизмеримости на систематической основе, а не ad hoc. (3) Именно Платоном была впервые задумана программа, впоследствии реализованная Евклидом: Платон первым осознал необходимость перестройки и, выбрав геометрию в качестве нового фундамента и метод геометрических пропорций в качестве нового метода, выдвинул программу геометризации математики, включая арифметику, астрономию и космологию; именно его идеи легли в основу геометрической картины мира, а, следовательно, и современной науки — науки Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.[15]«Платон и геометрия» (1957)
  Карл Поппер
  •  

...Вернемся к началу прошлого столетия. Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых...
Для нормального развития ребёнку необходимо полноценное питание. Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования. Геометрия может и должна стать предметом, с помощью которого мы можем сбалансировать работу головного мозга, улучшить функциональное взаимодействие между полушариями. Геометрия — витамин для мозга.[16]«Нужна ли школе 21-го века Геометрия?»

  Игорь Шарыгин

Примечания[править]

  1. Платон. Сочинения в четырех томах. Т. 3. Ч. 1. СПб., 2007. С. 346-347.
  2. Витрувий Марк Поллион. Десять книг об архитектуре. М,, 1936. С. 17.
  3. В тексте Kunst der Messung — наука измерения, под которой Дюрер понимает геометрию.
  4. Дюрер А. Дневники. Письма. Трактаты. Т. 2. М., 1957. С. 43.
  5. Галилео Галилей. Избранные произведения в двух томах. М.: Наука, 1964. Т. 1. С. 302.
  6. Галилео Галилей. Избранные произведения в двух томах. М.: Наука, 1964. Т. 2. С. 221.
  7. Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями. Диоптрика. Метеоры. Геометрия. М.: АН СССР, 1953. С. 23.
  8. Словом «геометрия» Паскаль называет всю вообще математику, а «геометрическим умом» — все мыслительные операции, характерные для математики.
  9. Вопросы философии. 1994. №6.
  10. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М.: Наука, 1989. С. 2.
  11. a priori (лат. «от предшествующего») — знание, полученное до опыта и независимо от него.
  12. Кант И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994. С. 52.
  13. А. Эйнштейн. О специальной и общей теории относительности (общедоступное изложение). М.: Государственное издательство, 1922. С. 8.
  14. Рейхенбах Г. Философия пространства и времени. М.: Прогресс, 1985. С. 23, 121.
  15. Поппер К. Р. Открытое общество и его враги. Т. 1. М.: Феникс, 1992. С. 395.
  16. Математическое просвещение. 2004. №8. С. 37, 52.

Ссылки[править]