Доказа́тельство — рассуждение по определённым правилам, обосновывающее какое-либо утверждение. В разных областях науки и человеческой деятельности этот термин имеет разные значения.
Понятие «доказательство» является ключевым и в эпистемологии, и в философии науки. Разумеется, оно вовсе не принадлежит исключительно сфере философии: о доказательствах постоянно говорят не только — и даже не в первую очередь — философы, но также судьи и адвокаты, историки и учёные, ведущие расследования журналисты и репортёры, а также представители множества других профессий. Используют это слово и в повседневной речи. Таким образом, понятие «доказательство» обладает более прочными до-теоретическими основаниями, чем другие понятия, играющие столь же заметную роль в философии.
Не такой требуется математик, который только в трудных выкладках искусен, но который, в изобретениях и в доказательствах привыкнув к математической строгости, в натуре сокровенную правду точным и непоползновенным порядком вывесть умеет. Бесполезны тому очи, кто желает видеть внутренность вещи, лишаясь рук к отверстию оной. Бесполезны тому руки, кто к рассмотрению открытых вещей очей не имеет. Химияруками, математика очами физическими по справедливости назваться может.[10]
Математическое доказательство не есть простое сцепление силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в определённом порядке; и порядок, в котором расположены эти элементы. Если у меня есть чувство <…> этого порядка, вследствие чего я могу сразу обнять всю совокупность рассуждений, мне уже нечего бояться забыть какой-либо элемент; каждый из них сам собой займёт своё место…[3]:59-60
Всякий акт знания, начиная с элементарного восприятия и кончая самыми сложными его плодами, заключает в себе принудительность, обязательность, невозможность уклониться, исключает свободу выбора. Воспринимаемая мною чернильница принудительно мне дана, как и связь частей суждения; она меня насилует, как и весь мир видимых вещей; я не свободен принять ее или не принять. Через знание мир видимых вещей насильственно в меня входит. Доказательство, которым так гордится знание, всегда есть насилие, принуждение. То, что мне доказано, то уже неотвратимо для меня. В познавательном восприятии видимых вещей, в доказательствах, в дискурсивном мышлении как бы теряется свобода человека, она не нужна уже.[5]
Математика сама создаёт те идеальные образы, над которыми она оперирует, не только не прибегая при этом к наглядности, но тщательно изгоняя из своих рассуждений и доказательств всякую наглядность, всякое свидетельство чувств. Геометр <здесь: «чистый» математик> не только не верит своим чувствам, но не признает самого их существования; он есть декартово «мыслящее существо». Геометру нет дела до того, есть ли в природе такие предметы, к которым его образы относятся, для него важно, что он их создал в своём уме, приписал им определения, аксиомы и допущения, после чего он с полною логичностью и строгостью развивает следствия этих аксиом и допущений, не вводя при этом никаких других аксиом и никаких новых допущений, — до остального ему дела нет.[11]
...философия становится прикладной наукой: ведь выходит, что без апелляции к ней невозможно судить о доказанности (а тем самым и об истинности) математических утверждений. Возникновение у философии черт прикладной науки вообще очень замечательно. Это движение началось в XX в., и оно связано прежде всего с успехами физики и космологии.[9]
Гук имеет лишь отдалённое представление о всемирном тяготении, основанное лишь на догадке. Одно дело изобретать гипотезы, другое – доказывать их… Гук имеет не большее право на закон обратных квадратов, чем Кеплер имеет право на закон эллипсов: догадки не считаются, а доказательств у Кеплера не было.
…Не должно быть законов, карающих за преступления против религии, ибо оскорбление вымысла ничего не оскорбляет. Было бы в высшей степени непоследовательно наказывать того, кто поносит или презирает вероисповедание или культ, главенство которого не может быть доказано. Поступать так — значит выказывать пристрастие и, следовательно, нарушать равенство, основной закон нового государственного устройства. <...>
Всякий народ считает свою веру наилучшей из всех. В доказательство подобного мнения обычно приводят множество доводов, не только противоположных друг другу, но и подчас прямо себе противоречащих.[12]:29
В русском языке для расчленения познавательной способности употребляются понятия: рассудок, ум, разум, мудрость. Эти понятия характеризуют различные стороны нашего познания. Остановимся прежде всего на двух первых. Рассудок есть познавательная способность ― единственная функция которого ― вывод, а назначение ― доказательство. Наибольшей силы и утонченности рассудок достигает там, где устанавливается связь конкретного явления с основным принципом (например, когда подводим движение неправильного тела к трём принципам Ньютона).[4]
Знаменитые рассуждения древнегреческого философа Зенона «Ахиллес и черепаха», «дихотомия» и др., называемые обычно «апориями» («затруднениями»), были направлены будто бы против движения и существования многих вещей. Сама идея доказать, что мир ― это одна-единственная и к тому же неподвижная вещь, нам сегодня кажется странной. Да странной она считалась и древними. Настолько странной, что «доказательства», приводившиеся Зеноном, сразу же были отнесены к простым уловкам, причем лишенным в общем-то особой хитрости. Такими они и считались две с лишним тысячи лет, а иногда считаются и теперь.[8]
Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведёт к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия. Обилие опровержений доводов Зенона показательно. Не вполне ясно, в чем именно состоят эти доводы, что они доказывают. Не ясно, как это «что-то» доказывается и есть ли здесь вообще доказательства? Чувствуется только, что какие-то проблемы или затруднения всё-таки есть.[8]
В день экзамена у Томаса собралось много учеников: кто переэкзаменовывался, кто, как и я, держал за первый курс лонгиметрию во второй курс. Томас подошел и ко мне. «На горизонтальную линию опустить перпендикуляр», ― отзвонил он мне и отошел к другим. «Какая прелесть, какая легкая задача», ― думаю я. Вычертил чисто, жду профессора. Через некоторое время, после осмотра других учеников с их задачами, Томас подходит ко мне.
― Доказательства! ― говорит он повелительно и смотрит на меня своим серым непроницаемым взором, как будто думает о другом.
― Да ведь это так ясно, ― бойко отвечаю я и кротко, с достоинством смотрю ему в глаза. Его отозвал кто-то из экзаменующихся. Я опять жду. Вот опять Томас подходит:
― Ну, что же вы стоите, напишите доказательства. ― И он опять отошел к другим. Я опять жду. «Вот досадно, ― думаю, ― отрывают». Томас подходит в третий раз.
― Доказательства! Доказательства![6]
Я лихорадочно пел до тех пор, пока хватало сил произносить слова. Потом пришло ощущение, что песни находятся внутри моего тела и самопроизвольно его сотрясают. Я должен был выйти и найти Мескалито, иначе взорвусь. Я пошёл в сторону пейотного поля, продолжая петь свои песни. Я знал, что они только мои — неоспоримое доказательство моей единственности. Я ощущал каждый свой шаг. Шаги эхом отдавались от земли; это эхо вызывало неописуемую эйфорию оттого, что я человек.[13]
Я совсем не идеальныйчеловек, но я – человек идеи. Мне, как и любому, тяжело жить в тюрьме, и не хочется здесь умереть. Но если потребуется – у меня не будет колебаний. Моя Вера стóит моей жизни. Думаю, я это доказал. А Ваша, уважаемые господа оппоненты? Во что Вы верите? В правоту начальства? В деньги? В безнаказанность «системы»? Я не знаю, вам решать.
Пока стоял Афанас отворотясь, а Порфирий сидел задумчиво, быстро пробежали взоры Цимисхия по всей комнате; но он не переменял своего положения и сидел по-прежнему беспечно, облокотясь на стол. Вошел черный невольник. «Вина, лучшего хиоского вина, ― сказал ему Афанас, ― три чаши, и одну из них с яхонтом!» Невольник вышел. Цимисхий улыбнулся. «Вот доказательство тебе, почтенный Афанас, какой плохой император буду я. Знаешь ли, что пришло мне в голову теперь, когда среди важных разговоров наших ты велел принести вина?» ― Не то ли, что по слову святого Писания: вино веселит сердце человека, и уже одна мысль об нем заставляет улыбаться?[14]
А впрочем, в самом деле, что это я завела — всё о мужьях да о мужьях? Весёленькийсюжетец, нечего сказать! Только что для фамилии нужны, и общество требует, а то — самая бесполезная на земле порода. Землю топчут, небо коптят, в винт играют, детей делают... тьфу! Ещё и верности требуют, козлы рогатые... Как же! чёрта с два! Теперь в нашем кругу верных жён-то, пожалуй, на всю Москву ты одна осталась... в качестве запасной праведницы, на случай небесной ревизии, чтобы было кого показать Господу Богу в доказательство, что у нас ещё не сплошь Содом.[15]
Между дедом и отцом тотчас разгорался спор. Отец доказывал, что всё хорошее на земле — выдумано, что выдумывать начали ещё обезьяны, от которых родился человек, — дед сердито шаркал палкой, вычерчивая на полу нули, и кричал скрипучим голосом:
— И-и ерунда...
Очевидно, Поляница решил положить конец никчемному, с его точки зрения, разговору. Он уже не улыбался. Пальцы его правой руки, безвольно лежавшей на столе, слегка пошевелились и медленно сложились в кукиш. Указывая на него глазами, Поляница бодро проговорил почему-то на своем родном языке:
— Бачишь, що це такэ? Це — дуля. Ось тоби моя видповидь! А по̀кы — до побачення, мени треба працюваты. Бувай здоров!
Давыдов усмехнулся:
— Чудаковатый ты спорщик, как посмотрю я на тебя… Неужели слов тебе не хватает, что ты, как базарная баба, мне кукиш показываешь? Это, братишечка, не доказательство! Что же, из-за этого несчастного сена прокурору на тебя жаловаться прикажешь?[7]
— Михаил Шолохов, «Поднятая целина» (книга вторая), 1960
Он потёр лоб. Я же уже решал этот вопрос. Давно ещё в деревне. Я его даже два раза решал, потому что в первый раз я забыл решение, а сейчас я забыл доказательства…
«Я отказываюсь доказывать, что я существую, – говорит Бог, — ибо доказательство отрицает веру, без веры же я – ничто.»
«Но, – отвечает ему Человек, — Вавилонская рыба тебя выдает с головой, разве нет? Она не могла эволюционировать случайно. Это доказывает, что ты существуешь, и, следовательно, по твоим собственным словам – что ты не существуешь. Quod erat demonstrandum.»
«Вот это да, – говорит Бог. — Мне это и в голову не пришло,» – и он исчезает в клубах логики.
«Нет ничего проще,» – говорит Человек, и на бис доказывает, что белое – это черное, после чего на следущем пешеходном переходе его сбивает машина.
Остановись, мой дух, в досаде на бояр;
Ты слишком далеко простер сердечный жар!
Со знатным будь всегда учтивее, скромнее,
Смягчи же грубый глас, спроси его нежнее: «
Как древность рода вы изволите считать?»
― «О! я за триста лет могу вам доказать,
И доказательство так ясно и бесспорно:
Дипломы, грамоты!..» ― «Помилуйте, довольно!»
А кто поручится, коль сметь у вас спросить,
Что не изволили прабабушки шалить
Над знаменитыми своих супругов лбами,
Простонародными украся их рогами?[16]
— Александр Воейков, «Сатира к С<перанскому> об истинном благородстве», 1806
Тот прав, кто си́лен:
Он доказательством обилен.[1]
Есть в нашей жизни явленья вне трех измерений, Вне тяготенья! не дух и не плоть! дело в том: Нужно, иль нет, признавать всемогущество тленья, Бог ― всемогущ! два могущества в мире одном!?
Это смешно и по логике прямо нелепость!
Если не так, то обязан я вправду признать,
Что доказательств отсутствие ― не отрицанье;
Мало ли что нам придется в грядущем узнать![2]
— Константин Случевский, «Мой «Дневник» аналогий, тождеств, параллелей, оставленный в столе» (из цикла «Загробные песни»), 1902
Нет! Мало еще доказательств. До дна
Ты разоблачиться, природа, должна!
Довольно мошенничать, козыри пряча,
В соитиях корчась, в смертях раскорячась![17]
Статья в Википедии
Медиафайлы на Викискладе